Tip İndirgeme Bulanıklaştırma Çözme - Aralık tip-2 bulanık kümeler için Karnik-Mendel algoritması

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — IT2 bulanık kümeyi temsil et. IT2 FS, üst MF μ_U(x) ve alt MF μ_L(x) ile sınırlıdır; belirsizlik izi (FOU) aralarındaki bölgedir. x alanını destek üzerinde N nokta x_1,...,x_N'ye ayrıklaştır.

   $$\begin{gathered} \text{IT2 FS: }\tilde{A}=\{((x,u),1):x\in X,{\mu }_L(x)\le u\le {\mu }_U(x)\} \\ \text{FOU: }\text{FOU}(\tilde{A})=\{(x,u):{\mu }_L(x)\le u\le {\mu }_U(x)\} \\ \text{Discretise: }{x}_i=x_{min}+(i-1)\frac{x_{max}-x_{min}}{N-1},i=1,\dots ,N \end{gathered}$$
   LaTeX

   \text{IT2 FS: } \tilde{A} = \{((x,u),\, 1) : x \in X,\; \mu_L(x) \le u \le \mu_U(x)\} \\ \text{FOU: } \text{FOU}(\tilde{A}) = \{(x,u) : \mu_L(x) \le u \le \mu_U(x)\} \\ \text{Discretise: } x_i = x_{\min} + (i-1)\,\frac{x_{\max}-x_{\min}}{N-1}, \quad i=1,\ldots,N

2. Adım 2 — KM algoritması ile c_L'yi hesapla. R=N/2 başlangıç geçiş noktasıyla başla. Her iterasyonda R'nin solundaki noktalara μ_L, sağındakilere μ_U ata; centroidi yeniden hesapla; R değişmeyene kadar tekrarla.

   $$\begin{gathered} \text{KM for }{c}_L: \\ \text{Init: }{R}^{(0)}=\lfloor N/2\rfloor \\ \text{Iteration: }{c}_L^{(k)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{R^{(k)}}{x}_i{\mu }_U(x_i)+{\sum }_{i=R^{(k)}+1}^N{x}_i{\mu }_L(x_i)}}{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{R^{(k)}}{\mu }_U(x_i)+{\sum }_{i=R^{(k)}+1}^N{\mu }_L(x_i)}} \\ \text{Update: find }{R}^{(k+1)}=max\{i:x_i\le c_L^{(k)}\} \\ \text{Terminate when }{R}^{(k+1)}=R^{(k)} \end{gathered}$$
   LaTeX

   \text{KM for } c_L: \\ \text{Init: } R^{(0)} = \lfloor N/2 \rfloor \\ \text{Iteration: } c_L^{(k)} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{R^{(k)}} x_i\,\mu_U(x_i) + \sum_{i=R^{(k)}+1}^{N} x_i\,\mu_L(x_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{R^{(k)}} \mu_U(x_i) + \sum_{i=R^{(k)}+1}^{N} \mu_L(x_i)} \\ \text{Update: find } R^{(k+1)} = \max\{i : x_i \le c_L^{(k)}\} \\ \text{Terminate when } R^{(k+1)} = R^{(k)}

3. Adım 3 — MF ataması değiştirilerek KM ile c_R'yi hesapla. Ardından tip-indirgeme aralığının [c_L, c_R] orta noktası olarak tek bir crisp değere bulanıklaştırma çöz.

   $$\begin{gathered} \text{KM for }{c}_R: \\ {c}_R^{(k)}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{L^{(k)}}{x}_i{\mu }_L(x_i)+{\sum }_{i=L^{(k)}+1}^N{x}_i{\mu }_U(x_i)}}{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{L^{(k)}}{\mu }_L(x_i)+{\sum }_{i=L^{(k)}+1}^N{\mu }_U(x_i)}} \\ \text{Crisp output (centroid mode): }{x}^{*}=\frac{c_L+c_R}{2} \\ \text{Interval output: }[c_L,c_R] \end{gathered}$$
   LaTeX

   \text{KM for } c_R: \\ c_R^{(k)} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{L^{(k)}} x_i\,\mu_L(x_i) + \sum_{i=L^{(k)}+1}^{N} x_i\,\mu_U(x_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{L^{(k)}} \mu_L(x_i) + \sum_{i=L^{(k)}+1}^{N} \mu_U(x_i)} \\ \text{Crisp output (centroid mode): } x^* = \frac{c_L + c_R}{2} \\ \text{Interval output: } [c_L,\, c_R]

Sezgi

Sonucu okuma: Use centroid mode (c_L+c_R)/2 for standard ranking. Use interval mode [c_L,c_R] to preserve and report type-2 uncertainty. Wider [c_L,c_R] = higher second-order uncertainty. N=100 discretisation points is sufficient for most IT2 TFNs.

Varsayımlar

• LMF(x) ≤ UMF(x) for all x
• N_disc ≥ 20 for reliable convergence

Ne zaman kullanılmaz

• Type-1 TFN/TrFN - use DEFUZZ-CENTROID
• IFN/PFN - use DEFUZZ-SCORE-IFN

Sınırlılıklar

• Requires discretisation (N evaluations per FN)
• Two separate KM runs needed
• More complex than T1 defuzzification

Sık yapılan hatalar

• Using TFN centroid (a+b+c)/3 on IT2 inputs - ignores FOU entirely.
• Too few discretisation points (N<20) - KM may not converge correctly.
• Forgetting that c_L and c_R require separate KM runs with swapped MF assignments.