DEFUZZ-CENTROID-GAUSSIAN

Gaussian Ağırlık Merkezi Bulanıklaştırma Çözme - Gaussian bulanık sayının crisp temsilcisi

Bulanıklaştırma çözme operatörü - Gaussian üyelik fonksiyonu

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — Gaussian üyelik fonksiyonu ve ağırlık merkezi. Gaussian bulanık sayı (μ, σ) ile parametrelendirilir: μ modal değer, σ yayılımı kontrol eder. Gaussian eğrisinin simetrisinden dolayı ağırlık merkezi tam olarak ortalamaya eşittir.

$μ_{A} (x) = \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}), x \in ℝ x^{*} = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} x \cdot μ_{A} (x) d x}{\int_{- \infty}^{\infty} μ_{A} (x) d x} = μ (by symmetry of Gaussian)$

LaTeX
\mu_A(x) = \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \qquad x \in \mathbb{R} \\ x^* = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot \mu_A(x)\,dx}{\int_{-\infty}^{\infty} \mu_A(x)\,dx} = \mu \qquad (\text{by symmetry of Gaussian})
Adım 2 — Asimetrik / genelleştirilmiş Gaussian. Sol ve sağ yayılımlar farklıysa (σ_L ≠ σ_R) MF artık simetrik değildir ve ağırlık merkezi ≠ μ. Yarı-Gaussian integralinden kapalı form mevcut.

$Two-sided Gaussian: μ_{A} (x) = {\begin{matrix} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ_{L}^{2}}) & x \leq μ \\ \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ_{R}^{2}}) & x > μ \end{matrix} Numerator: \int x μ_{A} (x) d x = μ (σ_{L} + σ_{R}) \sqrt{π / 2} + (σ_{R}^{2} - σ_{L}^{2}) Denominator: \int μ_{A} (x) d x = (σ_{L} + σ_{R}) \sqrt{π / 2} x^{*} = μ + \frac{σ_{R}^{2} - σ_{L}^{2}}{(σ_{L} + σ_{R}) \sqrt{π / 2}} = μ + (σ_{R} - σ_{L}) \sqrt{2 / π}$

LaTeX
\text{Two-sided Gaussian: } \mu_A(x) = \begin{cases} \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma_L^2}\right) & x \le \mu \\ \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma_R^2}\right) & x > \mu \end{cases} \\ \text{Numerator: } \int x \mu_A(x) dx = \mu(\sigma_L+\sigma_R)\sqrt{\pi/2} + (\sigma_R^2 - \sigma_L^2) \\ \text{Denominator: } \int \mu_A(x) dx = (\sigma_L+\sigma_R)\sqrt{\pi/2} \\ x^* = \mu + \frac{\sigma_R^2 - \sigma_L^2}{(\sigma_L+\sigma_R)\sqrt{\pi/2}} = \mu + (\sigma_R - \sigma_L)\sqrt{2/\pi}

Yöntem ayrıntıları kaynak kütüphanedeki özgün (İngilizce) metindir.

Sezgi

Sonucu okuma: For symmetric Gaussian: defuzzified value = μ directly (no computation needed). σ only matters for overlap and aggregation, not defuzzification. For asymmetric Gaussian: x* shifts toward the heavier tail.

Varsayımlar

σ > 0
Symmetric Gaussian assumed unless σ_L, σ_R specified separately

Ne zaman kullanılmaz

TFN or trapezoidal FNs (use DEFUZZ-CENTROID)
IFN/PFN (use DEFUZZ-SCORE-IFN)

Sınırlılıklar

Gaussian FNs less common in MCDM literature than TFN
σ carries no ranking information after defuzzification

Sık yapılan hatalar

Confusing σ with support width - σ does not affect centroid for symmetric Gaussian.
Applying TFN formula (a+b+c)/3 to Gaussian FNs - wrong type, use x*=μ.