DEA-BCC - Veri Zarflama Analizi (BCC / VRS modeli)

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

Adım 1 — Kriterleri girdi X (p×m) ve çıktı Y (q×m) olarak ayır; pozitifliği doğrula.

$X \in ℝ_{> 0}^{p \times m}, Y \in ℝ_{> 0}^{q \times m}, p = # inputs, q = # outputs$

LaTeX
X\in\mathbb{R}^{p\times m}_{>0},\ Y\in\mathbb{R}^{q\times m}_{>0},\ p=\#\text{inputs},\ q=\#\text{outputs}
Adım 2 — Her DMU_o için seçilen yönelimde BCC zarflama LP'sinin çözülmesi: girdi yönelimli min θ s.t. Xλ ≤ θX_o, Yλ ≥ Y_o; çıktı yönelimli max φ s.t. Xλ ≤ X_o, Yλ ≥ φY_o; her ikisinde Σλ=1, λ≥0. Dışbükeylik kısıtı Σλ_j=1, VRS varsayımını sağlamaktadır.

$input: min θ s.t. \sum_{j} λ_{j} x_{i j} \leq θ x_{i o}, \sum_{j} λ_{j} y_{r j} \geq y_{r o}; output: max ϕ s.t. \sum_{j} λ_{j} x_{i j} \leq x_{i o}, \sum_{j} λ_{j} y_{r j} \geq ϕ y_{r o}; \sum_{j} λ_{j} = 1, λ_{j} \geq 0$

LaTeX
\text{input: }\min\theta\ \text{s.t.}\ \sum_j\lambda_j x_{ij}\le\theta x_{io},\ \sum_j\lambda_j y_{rj}\ge y_{ro};\quad \text{output: }\max\phi\ \text{s.t.}\ \sum_j\lambda_j x_{ij}\le x_{io},\ \sum_j\lambda_j y_{rj}\ge\phi y_{ro};\quad \sum_j\lambda_j=1,\ \lambda_j\ge 0
Adım 3 — Ölçek etkinliği SE_o = θ_CCR / θ_BCC; BCC optimumundaki Σλ* ile ölçek getiri türünü sınıflandır.

$S E_{o} = θ_{C R S, o}^{*} / θ_{V R S, o}^{*}; C R S if θ_{C R S}^{*} = θ_{V R S}^{*}; I R S if θ_{C R S}^{*} = θ_{N I R S}^{*} < θ_{V R S}^{*}; D R S otherwise$

LaTeX
SE_o=\theta^*_{CRS,o}/\theta^*_{VRS,o};\quad CRS\text{ if }\theta^*_{CRS}=\theta^*_{VRS};\quad IRS\text{ if }\theta^*_{CRS}=\theta^*_{NIRS}<\theta^*_{VRS};\quad DRS\text{ otherwise}
Adım 4 — BCC etkin sınırını belirle (θ*_BCC=1); BCC sınırının CCR'dan daha geniş olabileceğine dikkat et.

$ℱ_{B C C} = {j : θ_{B C C, j}^{*} = 1} \supseteq ℱ_{C C R}$

LaTeX
\mathcal{F}_{BCC}=\{j:\theta^*_{BCC,j}=1\}\supseteq\mathcal{F}_{CCR}
Adım 5 — DMU'ları θ*_BCC'ye göre azalan sırala; BCC etkin DMU'lar en üstte eşit.

$rank (j) \propto - θ_{B C C, j}^{*}$

LaTeX
\text{rank}(j)\propto -\theta^*_{BCC,j}

Sezgi

Sonucu okuma: BCC extends CCR by adding the convexity constraint Σλ_j=1, allowing Variable Returns to Scale (VRS). BCC efficiency ≥ CCR efficiency always. Use BCC when DMUs operate at different scales (e.g., hospitals of varying sizes). Scale efficiency = CCR/BCC reveals whether inefficiency stems from scale vs. pure technical causes.

Varsayımlar

All inputs and outputs strictly positive
DMUs are homogeneous (same industry/activity type)
VRS assumption justified (DMUs operate at different scales)
Sufficient DMUs relative to dimensions: m ≥ 3·(p+q)

Ne zaman kullanılmaz

All DMUs operate at same scale - use CCR (CRS) instead
Very small samples (m < 3·(p+q)) - frontier crowding risk
Inputs or outputs contain zeros or negative values

Sık yapılan hatalar

BCC etkinliği (saf teknik) ile CCR etkinliğini (genel) karıştırmak. BCC=1, DMU'nun optimal ölçekte olduğu anlamına gelmez.
Az DMU ile BCC kullanmak: Sınır kalabalığı neredeyse tüm DMU'ları etkin ilan eder. Kural: m ≥ 3·(p+q).
Ölçek etkinliği hesabında CCR ve BCC için farklı yönelim kullanmak.