D-TOPSIS - D-Sayı (Deng Kanıt Teorisi) tabanlı değiştirilmiş TOPSIS

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 0 — D-sayı karar matrisi girdileri D_{ij}={(B_k,v_k)} doğrulanır: Σ_k v_k ≤ 1, B_k⊆Ω; birden çok uzman varsa D-sayılar Dempster ortogonal toplamı D_1⊕D_2 ile birleştirilir; her D-sayı beklenen değerine dönüştürülür: E(D_{ij}) = Σ_k v_k · (Σ_{x∈B_k} x)/|B_k|; böylece crisp matris x_{ij} elde edilir.

   $$E(D_{ij})=\sum _{k=1}^{n_{ij}}{v}_k·\frac{{\sum }_{x\in B_k}x}{|B_k|},D_1\oplus D_2(B)=\frac{{\sum }_{B_i\cap C_j=B}{D}_1(B_i)D_2(C_j)}{1-{\sum }_{B_i\cap C_j=\varnothing }{D}_1(B_i)D_2(C_j)}$$
   LaTeX

   E(D_{ij}) = \sum_{k=1}^{n_{ij}} v_{k}\cdot\frac{\sum_{x\in B_{k}} x}{|B_{k}|},\quad D_{1}\oplus D_{2}(B) = \frac{\sum_{B_{i}\cap C_{j}=B} D_{1}(B_{i})D_{2}(C_{j})}{1-\sum_{B_{i}\cap C_{j}=\emptyset} D_{1}(B_{i})D_{2}(C_{j})}

2. Adım 1 — D-sayıdan türetilen crisp matriste vektör normalleştirme: her sütunu birim Öklid normuna ölçekle.

   $$r_{ij}={\displaystyle \frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^m{x}_{ij}^2}}},i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n$$
   LaTeX

   r_{ij} = \dfrac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} x_{ij}^{2}}}, \quad i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n

3. Adım 2 — Ağırlıklandırılmış normalleştirilmiş matris: her sütunu kendi ağırlığıyla çarp.

   $$v_{ij}=w_j·r_{ij}$$
   LaTeX

   v_{ij} = w_{j} \cdot r_{ij}

4. Adım 3 — Kriter yönüne göre pozitif-ideal A⁺ ve negatif-ideal A⁻ çözümlerini belirle.

   $$A^{+}=\{v_1^{+},\dots ,v_n^{+}\},v_j^{+}=\{\begin{array}{cc}{max}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J\hfill \\ {min}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{\prime }\hfill \end{array};A^{-}=\{v_1^{-},\dots ,v_n^{-}\},v_j^{-}=\{\begin{array}{cc}{min}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J\hfill \\ {max}_i{v}_{ij}\hfill & j\in J^{\prime }\hfill \end{array}$$
   LaTeX

   A^{+} = \{v_{1}^{+}, \ldots, v_{n}^{+}\},\ v_{j}^{+} = \begin{cases} \max_{i} v_{ij} & j \in J \\ \min_{i} v_{ij} & j \in J' \end{cases};\quad A^{-} = \{v_{1}^{-}, \ldots, v_{n}^{-}\},\ v_{j}^{-} = \begin{cases} \min_{i} v_{ij} & j \in J \\ \max_{i} v_{ij} & j \in J' \end{cases}

5. Adım 4 — Her alternatifin A⁺ ve A⁻'den Öklid ayrım uzaklıklarını hesapla.

   $$d_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}-v_j^{+}{)}^2},d_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^n(v_{ij}-v_j^{-}{)}^2}$$
   LaTeX

   d_{i}^{+} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}(v_{ij}-v_{j}^{+})^{2}},\quad d_{i}^{-} = \sqrt{\sum_{j=1}^{n}(v_{ij}-v_{j}^{-})^{2}}

6. Adım 5 — İdeal çözüme göreli yakınlık; C* azalan sıraya göre sıralama yap.

   $$C_i^{*}={\displaystyle \frac{d_i^{-}}{d_i^{+}+d_i^{-}}},0\le C_i^{*}\le 1$$
   LaTeX

   C_{i}^{*} = \dfrac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+}+d_{i}^{-}},\quad 0 \le C_{i}^{*} \le 1

Sezgi

D-Number ranking - D:Ω→[0,1] with Σ_{B⊆Ω} D(B) ≤ 1; incomplete evidence allowed (Deng 2012). Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: D-TOPSIS (Fei et al. 2016) handles incomplete/uncertain information via D-numbers (Deng 2012). Each matrix entry D_{ij} = {(B_k, v_k)} with Σ v_k ≤ 1. Step F0 converts each D-number to its expected crisp value E(D) = Σ_k v_k·x_k / Σ_k v_k; if multiple experts, first combine via Dempster orthogonal sum. Steps F1-F5 then run standard TOPSIS on the crisp expected-value matrix. Higher C* = closer to ideal.

Varsayımlar

• Decision matrix entries are valid D-Numbers numbers/tuples
• Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Ne zaman kullanılmaz

• Classical data sufficient - use base TOPSIS directly (avoid unnecessary uncertainty layer)
• Aggregation operator (PFWA/PFOWA/etc.) not specified - output ambiguous

Sınırlılıklar

• Rank reversal known on alternative-set changes (ref: inherited from crisp base; cf. Belton-Gear 1983, Wang-Luo 2009)
• Assumes: Decision matrix entries are valid D-Numbers numbers/tuples
• Assumes: Underlying crisp method's compensation assumption holds in uncertain space
• Assumes: All decision-maker(s) and experts use the same linguistic/uncertainty scale

Sık yapılan hatalar

• Eksik D-sayı (Σ v_k < 1): E(D) hesaplamadan önce Σ v_k ile normalize edin; aksi halde beklenti değeri küçük çıkar.
• D-sayıları Z-sayılarla karıştırma: D:Ω→[0,1] (kanıt teorisi, Deng 2012) ≠ Z=(A,B) (kısıtlama+güvenilirlik çifti, Zadeh 2011). Bunlar farklı belirsizlik çerçeveleridir.
• Dempster kombinasyon adımı (F0) yalnızca birden çok uzman aynı hücre için ayrı D-sayı değerlendirmeleri verdiğinde gereklidir. Tek uzman ise atlayın.