Geometrik Tutarlılık İndeksi (GCI) - PCM'ler için logaritmik-karesel tutarlılık ölçümü

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Geometrik ortalama öncelik vektörü ê'yi hesapla. Her i satırı için o satırdaki tüm girişlerin geometrik ortalamasını al.

   $${\widehat{e}}_i={\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{ij}\right)}^{1/n},i=1,\dots ,n$$
   LaTeX

   \hat{e}_i = \left(\prod_{j=1}^{n} a_{ij}\right)^{1/n}, \qquad i = 1,\ldots,n

2. Adım 2 — GCI'yi hesapla: her a_ij girişi ile tutarlı oran ê_i/ê_j arasındaki ortalama karesel log-sapma.

   $$GCI=\frac{2}{(n-1)(n-2)}\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{\log }^2(a_{ij}·\frac{{\widehat{e}}_j}{{\widehat{e}}_i})$$
   LaTeX

   GCI = \frac{2}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n} \log^2\!\left(a_{ij} \cdot \frac{\hat{e}_j}{\hat{e}_i}\right)

3. Adım 3 — GCI'yi boyuta bağlı eşikle karşılaştır. GCI ≤ eşik ise PCM kabul edilebilir düzeyde tutarlıdır.

   $$\begin{gathered} \text{Thresholds (Aguarón \& Moreno-Jiménez 2003):} \\ n=3\to GC{I}^{*}=0.31,n=4\to 0.35,n\ge 5\to 0.37 \\ \text{Most inconsistent pair:}(i^{*},j^{*})=\mathrm{\backslash arg}{max}_{i<j}{\log }^2(a_{ij}·\frac{{\widehat{e}}_j}{{\widehat{e}}_i}) \end{gathered}$$
   LaTeX

   \text{Thresholds (Aguarón \& Moreno-Jiménez 2003):} \\ n=3 \to GCI^* = 0.31, \quad n=4 \to 0.35, \quad n \ge 5 \to 0.37 \\ \text{Most inconsistent pair:} \quad (i^*,j^*) = \arg\max_{i<j} \log^2\!\left(a_{ij}\cdot\frac{\hat{e}_j}{\hat{e}_i}\right)

Sezgi

Sonucu okuma: Use size-dependent thresholds: n=3→0.31, n=4→0.35, n≥5→0.37. GCI is preferred over CR when weights are derived via the geometric mean (LLSM) rather than the eigenvector.

Varsayımlar

• PCM entries are positive and reciprocal
• Weights derived via geometric mean (LLSM)

Ne zaman kullanılmaz

• When Saaty eigenvector weights are used (CR is then more coherent)

Sınırlılıklar

• Thresholds approximate (Monte Carlo derived)
• Less widely recognized than Saaty CR in practice

Sık yapılan hatalar

• Using Saaty thresholds (0.1) for GCI - they are different scales.
• GCI=0 requires exact consistency, not just low CR.