Choquet İntegrali - Toplamsız birikim

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — fuzzy_densities parametresinden her kriter için bulanık yoğunluklar g_i = g_λ({x_i}) (0 ≤ g_i < 1). Hiçbiri verilmediğinde kriter ağırlıkları kullanılmaktadır (Σw = 1; dolayısıyla λ = 0 ve ölçü toplamsaldır).

   $$g_i=g_{\lambda }(\{x_i\}),i=1,\dots ,n$$
   LaTeX

   g_{i} = g_{\lambda}(\{x_{i}\}),\ i=1,\ldots,n

2. Adım 2 — Sugeno λ: Σg ≠ 1 olduğunda 1 + λ = Π(1 + λ g_i) denkleminin (−1, ∞) üzerindeki sıfırdan farklı tek kökü (Σg < 1 ⇒ λ > 0; Σg > 1 ⇒ −1 < λ < 0); λ = 0 yalnızca Σg = 1 olduğunda. [Π(1 + λg_i) − (1 + λ)]/λ üzerinde ikiye bölme yöntemiyle çözülmektedir.

   $$1+\lambda =\prod _{i=1}^n(1+\lambda g_i),\lambda \in (-1,\infty ),\lambda \ne 0\text{ if }\sum _i{g}_i\ne 1;\lambda =0\text{ if }\sum _i{g}_i=1$$
   LaTeX

   1 + \lambda = \prod_{i=1}^{n}(1 + \lambda g_{i}),\quad \lambda\in(-1,\infty),\ \lambda\neq 0 \text{ if } \textstyle\sum_i g_i\neq 1;\ \lambda=0 \text{ if } \textstyle\sum_i g_i=1

3. Adım 3 — Karar matrisi her kriter için yöne duyarlı min-maks ile [0, 1] aralığına normalize edilmektedir (fayda (x − min)/(max − min); maliyet (max − x)/(max − min); sabit bir sütun 0 olmaktadır). Ardından her alternatif için profil sıralanmakta ve her üst küme H_(k) = {değeri ≥ h_(k) olan kriterler} için λ-ölçüsü hesaplanmaktadır: g_λ(H) = [Π_{x∈H}(1 + λg_x) − 1]/λ (λ = 0 olduğunda Σ_{x∈H} g_x).

   $$g_{\lambda }(H_i)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}[\prod _{x\in H_i}(1+\lambda g_x)-1]$$
   LaTeX

   g_{\lambda}(H_{i}) = \dfrac{1}{\lambda}\Big[\prod_{x\in H_{i}}(1+\lambda g_{x}) - 1\Big]

4. Adım 4 — Normalize edilmiş profili ARTAN (ASCENDING) sırada h_(1)≤…≤h_(n) düzenleyin (çekirdek np.argsort'u artan, kararlı modda kullanır; modül docstring'i bunu zaten belgeler — bu adımın metninin önceki bir sürümü yanlışlıkla '≥', yani azalan, demişti) ve Choquet integralini hesaplayın: C(A_i) = Σ_k (h_(k) - h_(k-1))·g_λ(H_(k)).

   $$\int hdg=\sum _{i=1}^n[h(x_i)-h(x_{i-1})]·g_{\lambda }(H_i),h(x_0)=0$$
   LaTeX

   \int h\,dg = \sum_{i=1}^{n}\big[h(x_{i}) - h(x_{i-1})\big]\cdot g_{\lambda}(H_{i}),\quad h(x_{0})=0

Sezgi

Sugeno λ-measure. Output typically utility (higher value = preferred).

Sonucu okuma: Apply F.steps in order.

Varsayımlar

• Singleton fuzzy densities g_i are elicited from domain experts or estimated from data
• Criteria exhibit interaction (superadditive if Σg_i<1, subadditive if Σg_i>1, additive if Σg_i=1)
• All decision matrix entries are real-valued, finite, non-missing

Ne zaman kullanılmaz

• Criteria are independent → use SAW/WPM (Choquet collapses to additive weighted sum anyway)
• Fuzzy densities g_i cannot be estimated - method becomes unidentifiable

Sınırlılıklar

• Assumes: Singleton fuzzy densities g_i are elicited from domain experts or estimated from data
• Assumes: Criteria exhibit interaction (superadditive if Σg_i<1, subadditive if Σg_i>1, additive if Σg_i=1)
• Assumes: All decision matrix entries are real-valued, finite, non-missing

Sık yapılan hatalar

• Hatalı: 'CHOQUET-INTEGRAL bu varsayımı kontrol etmeden uygulamak'. Doğrusu: Singleton fuzzy densities g_i are elicited from domain experts or estimated from data
• Hatalı: 'CHOQUET-INTEGRAL bu varsayımı kontrol etmeden uygulamak'. Doğrusu: Criteria exhibit interaction (superadditive if Σg_i<1, subadditive if Σg_i>1, additive if Σg_i=1)
• Hatalı: 'CHOQUET-INTEGRAL bu varsayımı kontrol etmeden uygulamak'. Doğrusu: All decision matrix entries are real-valued, finite, non-missing
• Hatalı: CHOQUET-INTEGRAL'yi 'Criteria are independent → use SAW/WPM (Choquet collapses to additive weighted sum anyway)' durumunda kullanmak - recommendation_metadata.not_recommended_when alternatif öneriyor.
• Hatalı: CHOQUET-INTEGRAL'yi 'Fuzzy densities g_i cannot be estimated' durumunda kullanmak - recommendation_metadata.not_recommended_when alternatif öneriyor.