Bayesçi BWM - Olasılıksal Grup En İyi-En Kötü Yöntemi

Formül adımları

Analiz motorunun yöntem bildirimindeki (manifest F.steps) adımlar; raporlardaki formüllerle aynı kaynaktır.

1. Adım 1 — Her DM k için en iyi B_k, en kötü W_k, BO vektörü A_B^k, OW vektörü A_W^k topla.

   $$\forall k\in \{1,\dots ,K\}:B_k,W_k\in \{1,\dots ,n\},A_B^k=(a_{B1}^k,\dots ,a_{Bn}^k),A_W^k=(a_{1W}^k,\dots ,a_{nW}^k)$$
   LaTeX

   \forall k\in\{1,\ldots,K\}:\ B_{k}, W_{k}\in\{1,\ldots,n\},\ A_{B}^{k}=(a_{B1}^{k},\ldots,a_{Bn}^{k}),\ A_{W}^{k}=(a_{1W}^{k},\ldots,a_{nW}^{k})

2. Adım 2: Yazarların tam hiyerarşisini kullan: w_k~Dirichlet(beta*wStar), beta~Gamma(.01,.01), wStar~Dirichlet(beta2*theta), theta~Dirichlet(1e-7), beta2~Gamma(.01,.01).

   $$w^k~Dir(\beta w^{*});\beta ~Gamma(\mathrm{.01},\mathrm{.01});w^{*}~Dir({\beta }_2\theta );\theta ~Dir({10}^{-7}\mathbf{1});{\beta }_2~Gamma(\mathrm{.01},\mathrm{.01})$$
   LaTeX

   w^k\sim Dir(\beta w^*);\ \beta\sim Gamma(.01,.01);\ w^*\sim Dir(\beta_2\theta);\ \theta\sim Dir(10^{-7}\mathbf1);\ \beta_2\sim Gamma(.01,.01)

3. Adım 3: Uzmanlardan alınan pozitif tam sayılı BO/OW vektörlerini multinom sayımlar olarak ele al: AB olasılıkları bireysel ağırlıkların normalleştirilmiş tersleridir, AW olasılıkları ise bireysel ağırlıklara eşittir.

   $$A_B^k~Mult(\sum _j{a}_{Bj}^k,(1/w_j^k)/\sum _l(1/w_l^k));A_W^k~Mult(\sum _j{a}_{jW}^k,w^k)$$
   LaTeX

   A_B^k\sim Mult(\sum_j a_{Bj}^k,\ (1/w_j^k)/\sum_l(1/w_l^k));\quad A_W^k\sim Mult(\sum_j a_{jW}^k,\ w^k)

4. Adım 4: Yayımlanmış sonsal dağılımı uyarlamalı blok rastgele yürüyüş Metropolis ile birebir örnekle. Bağımsız zincirler çalıştır; toplam ağırlık R-hat, ESS ve blok kabul denetimleri geçmedikçe kapalı biçimde başarısız ol.

   $$\{w^{*,(s)},w^{k,(s)},{\beta }^{(s)},{\theta }^{(s)},{\beta }_2^{(s)}\}~p(·\mid A_B,A_W)$$
   LaTeX

   \{w^{*,(s)},w^{k,(s)},\beta^{(s)},\theta^{(s)},\beta_2^{(s)}\}\sim p(\cdot\mid A_B,A_W)

5. Adım 5 — Posterior ortalama ağırlıklar ve %95 güvenilir aralık; w^agg grup ağırlığıdır.

   $${\widehat{w}}_j^{agg}=\frac{1}{S}\sum _{s=1}^S{w}_j^{agg,(s)};C{I}_{95}(w_j^{agg})=[Q_{0.025},Q_{0.975}]$$
   LaTeX

   \hat{w}_{j}^{agg} = \tfrac{1}{S}\sum_{s=1}^{S} w_{j}^{agg,(s)};\ CI_{95}(w_{j}^{agg}) = [Q_{0.025}, Q_{0.975}]

6. Adım 6 — Credal ranking matrisi: P(c_i > c_j) = posterior olasılık; eşik üzerinden kısmi sıralama.

   $$P(c_i\succ c_j)=\frac{1}{S}\sum _{s=1}^S\mathbf{1}[w_i^{agg,(s)}>w_j^{agg,(s)}];c_i{\succ }_{\tau }{c}_j⟺P(c_i\succ c_j)\ge \tau$$
   LaTeX

   P(c_{i} \succ c_{j}) = \tfrac{1}{S}\sum_{s=1}^{S} \mathbf{1}\!\left[w_{i}^{agg,(s)} > w_{j}^{agg,(s)}\right];\ c_{i} \succ_{\tau} c_{j} \iff P(c_{i}\succ c_{j}) \geq \tau

Sezgi

Hierarchical Dirichlet posterior over weights via MCMC (JAGS) - group decision. Output typically weight (higher value = preferred).

Sonucu okuma: Bayesian BWM generalises BWM to K decision makers and estimates the published hierarchical Dirichlet posterior by multi-chain MCMC. Outputs include posterior mean aggregate weights, 95% credible intervals, pairwise probabilities P(c_i>c_j), and the credibility-thresholded partial order; pairs below the threshold in both directions remain incomparable.

Varsayımlar

• Domain experts available
• Experts can express consistent comparisons

Ne zaman kullanılmaz

• No experts available → use objective weighting
• High inconsistency → discard and re-elicit

Sınırlılıklar

• Assumes: Domain experts available
• Assumes: Experts can express consistent comparisons

Sık yapılan hatalar

• Çok az MCMC iterasyonu → kararsız posterior; Gelman-Rubin R̂ < 1.1 kontrolü yapın.
• Yüksek tutarsız DM grup posterior'ını yönlendirebilir - DM güvenilirlik ağırlıkları düşünülebilir.